Apéndice 3: Matrices
Las matrices sirven para agrupar información en la forma de valores numéricos. Esta forma de agrupar valores tiene ciertas propiedades matemáticas. Para la teoría de gráficos, el mayor uso de matrices es en la representación de sistemas de coordenadas y numerosas transformaciones de tales. Generalmente, se usarán matrices que son 4 x 4, para las matrices de transformación, por ejemplo.
Definiciones
Una matriz es una lista de n x m números escalares, que se suele representar como n filas y m columnas.
éstas son las dimensiones de la matriz: filas y columnas.
Si
a11 a12 a13 a14
A = a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
Aquí A es una matriz de
La traspuesta de una matriz A de
a11 a21 a31 a41
AT = a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
Operaciones de Matrices
Existen tres operaciones de matrices básicas: multiplicación escalar-matriz, suma matriz-matriz, y multiplicación matriz-matriz.
Multiplicación Escalar-Matriz
Es la multiplicación del escalar s por cada elemento de la matriz A.
sa11 sa12 sa13 sa14
sA = sa21 sa22 sa23 sa24
sa31 sa32 sa33 sa34
sa41 sa42 sa43 sa44
Este tipo de multiplicación tiene las propiedades conmutativa:
Suma Matriz-Matriz
Se suman los elementos correspondientes de las dos matrices. La suma sólo se puede hacer si las dos matrices son del mismo orden: el número de filas y columnas es el mismo para la matriz A y B:
a11+b11 a12+b12 a13+b13 a14+b14
A + B = a21+b21 a22+b22 a23+b23 a24+b24
a31+b31 a32+b32 a33+b33 a34+b34
a41+b41 a42+b42 a43+b43 a44+b44
La suma de matrices acepta las propiedades conmutativa:
Multiplicación Matriz-Matriz
Se multiplican cada elemento de una fila de la primera matriz, A, de orden
a11 a12 a13 b11 b12
A = a21 a22 a23 B = b21 b22
a31 a32 a33 b11 b12
a11*b11+a12*b21+a13*b31 a11*b12+a12*b22+a13*b32
A * B = a21*b11+a22*b21+a23*b31 a21*b12+a22*b22+a23*b32
a31*b11+a32*b21+a33*b31 a31*b12+a32*b22+a33*b32
Dicho de otro modo:
C = A*B = [cij]
donde,
r
cij = ∑ (aik*bkj)
k=1
La matriz resultante será C, que será de orden
La multiplicación de matrices acepta la propiedad asociativa:
Es importante mencionar la matriz identidad, que es una matriz cuadrada donde todos los elementos son ceros, a excepción de los elementos que se encuentran en la diagonal, donde son unos:
1 0 0 0 …
0 1 0 0 … { 1, si i = j
I = 0 0 1 0 … I = [aij], aij = {
0 0 0 1 … { 0, de lo contrario
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱
La matriz identidad es una de las pocas matrices donde la propiedad conmutativa se puede aplicar:
Ejemplos
3 3 -1 0 3 0 1 0 2 0 -1 1
0 -2 2 0 -2 -1 -3 0 -1 2 0 2
A = 1 0 -2 0 B = -1 -4 2 3 C = 0 0 2 0
2 -3 4 1 0 2 1 0 1 1 2 1
-1 -1 0 -2 3 2 4 1
3 6 -5 9 6 0 -1 3 6 3 0 0
2 -4 4 -4 -3 -2 -2 -4 -2 -3 -1 0
A * C = 2 0 -5 1 B * C = 5 -5 11 -6 A + B = 0 -4 0 3
8 -5 8 -3 -2 4 2 4 2 -1 5 1
-3 -4 -3 -4 5 5 7 8 2 1 4 -1
Determinante de una Matriz
El determinante de una matriz cuadrada A es un escalar, y se representa así: |A| o det A.
Hay varias formas de calcular el determinante. La forma más general es siguiendo la regla de Cramer:
-
El determinante de una matriz cuadrada de orden 2 es el siguiente:
a b A = c d |A| = a*d - b*c
-
Con una matriz cuadrada de mayor orden, elegimos una columna o fila cualquiera.
Ahora iremos cancelando la fila, por ejemplo, elegida y la primera columna.
Los elementos restantes formarán otra matriz, y calcularemos el determinante de ésta.
Este determinante se multiplicará por el elemento donde la fila elegida y primera columna se intersectan.
Luego haremos lo mismo con la segunda columna y demás restantes.
No se multiplica sin más, sino que hay un cambio de signo, dependiendo de cuál elemento se está multiplicando.
Sigue este esquema, en forma de matriz:
+ - + - + - … - + - + - + … + - + - + - … - + - + - + … + - + - + - … ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱
Ejemplos
Para entender cómo se realiza esto, es mejor ver un ejemplo:
1 3 -1 -5 | 1 3 -1 -5 |
A = 3 2 0 1 |A| = | 3 2 0 1 |
-3 -2 -1 0 |-3 -2 -1 0 |
4 0 1 1 | 4 0 1 1 |
Ahora elegimos una fila o columna; elegiremos la 4ª fila. Por lo que el determinante será:
| 3 -1 -5 | | 1 -1 -5 | | 1 3 -5 | | 1 3 -1 |
|A| = -4 * | 2 0 1 | + 0 * | 3 0 1 | - 1 * | 3 2 1 | + 1 * | 3 2 0 |
|-2 -1 0 | |-3 -1 0 | |-3 -2 0 | |-3 -2 -1 |
El primer producto se realiza mediante eliminando la 1ª columna y la 4ª fila. La intersección de éstas resulta en el elemento: 4, con el signo negativo, consultando el esquema visto anteriormente. El segundo producto aparece eliminando la 2ª columna y 4ª fila; el elemento de intersección es: 0, por lo que no hace falta ni calcular. El tercer producto, es el determinante de los elementos restantes cuando se eliminan los elementos de la 3ª columna y 4ª fila, y se multiplica con la intersección: 1. Y el cuarto producto se hace de igual manera que los demás: 4ª columna y 4ª fila.
El cálculo de los tres determinantes se hace de igual forma: eligiendo una fila o columna, e ir eliminando hasta conseguir un determinante que sí sepamos hacer: a*b-d*c. Para una matriz de 3 x 3, aquí presentamos el determinante ya calculado:
a b c
B = d e f |B| = a*(ei-fh) - b*(di-fg) + c*(dh-eg)
g h i
Volviendo a nuestro ejemplo, obtenemos los determinantes de las matrices de
|A| = -4 * (3+2+10) - 1 * (2-9+0) + 1 * (-2+9+0)
= (-4)*15 + (-1)*(-7) + (1)*(7)
= -60 + 7 + 7
= -46
Propiedades
Existen las siguientes propiedades acerca de las matrices y sus determinantes:
-
Si dos filas (o dos columnas) de una matriz cuadrada, A, son idénticas, entonces det
A = 0. -
Si dos filas (o dos columnas) de una matriz cuadrada, A, son intercambiables,
entonces sólo el signo de
det A es cambiado. - El valor de det A no varía si se suma un múltiplo de una fila a otra fila o si se suma un múltiplo de una columna a otra columna.
-
Si tenemos dos matrices cuadradas, A y B, del mismo orden, entonces
det (AB) = (det A) (det B) . -
Si una matriz, A, es invertible, entonces
det (A-1) = (det A)-1. -
Si una matriz, A, es cuadrada de orden n, entonces
det (kA) = kn(det A), donde k es un escalar.
Inversión de una Matriz
Para invertir una matriz, ésta debe ser una matriz cuadrada.
Si,
q = Ap,
queremos saber si podemos encontrar una matriz cuadrada B tal que
p = Bq.
Sustituyendo por q,
p = Bq = BAp.
Haciendo un cambio de notación,
p = Ip.
Para que,
Ip = BAp, entonces
I = BA.
Si tal matriz B existe, entonces es la inversa a A, y A la denominamos no singular.
También podemos decir que una matriz no invertible es singular.
La inversa a A se escribe
Método
Usaremos el método de Cramer. Si D es el determinante de A, entonces B - la inversa de A -
está formada por bij, donde cada bij es el determinante de la submatriz, creada por la eliminación de la fila i
y de la columna j de la matriz
Ejemplos
1 3 -1 | 1 3 -1 |
A = 3 2 0 |A| = | 3 2 0 | = 7 = D ≠ 0 ⇒ A es invertible (o no singular)
-3 -2 -1 |-3 -2 -1 |
1 3 -3
AT = 3 2 -2
-1 0 -1
A-1 = B = [bij],
| 2 -2 | | 3 -2 | | 3 2 |
| 0 -1 | - | -1 -1 | | -1 0 |
b11 = ------------ = -0,2857 b12 = ------------ = 0,7143 b13 = ------------ = 0,2857
D D D
| 3 -3 | | 1 -3 | | 1 3 |
- | 0 -1 | | -1 -1 | - | -1 0 |
b21 = ------------ = 0,4286 b22 = ------------ = -0,5714 b23 = ------------ = -0,4286
7 7 7
| 3 -3 | | 1 -3 | | 1 3 |
| 2 -2 | - | 3 -2 | | 3 2 |
b31 = ------------ = 0 b32 = ------------ = -1 b33 = ------------ = -1
7 7 7
Como podemos ver, b11 se calcula dividiendo dos determinantes. El numerador se calcula a partir de la matriz que queda eliminando la primera fila y columna de la matriz AT. El elemento b12 se calcula de la misma manera. Creamos la matriz del numerador eliminando la primera fila y la segunda columna de la matriz AT. Y así sucesivamente. También aplicamos los signos positivo o negativo siguiendo la misma lógica que empleamos cuando calculamos el determinante de una matriz.
Al final, obtenemos A-1 que es:
-0,2857 -0,7143 0,2857
B = A-1 = -0,4286 -0,5714 0,4286
0 -1 -1
Se puede comprobar, fácilmente, que AB = I
Cambio de Representación
Usando matrices con los vectores base podemos cambiar la representación de cualquier conjunto de vectores (no base).
Supongamos que tenemos dos vectores de dimensión n que forman la base del espacio vectorial:
w = a1u1 + a2u2 + a3u3 + … + anun,
o
w′ = b1v1 + b2v2 + b3v3 + … + bnvn
Veamos cómo convertimos de la representación de w a la de w′.
Los vectores base
u1 v1 u2 v2 u3 v3 . = A . Donde A es una matriz n x n : A = [αij] . . . . un vn
Podemos usar matrices en columna para representar ambos vectores, w y w′, como:
u1
u2
u3
w = aT . Donde a = [ai],
.
.
un
Definamos b como
b = [bi],
y podemos escribir w′ como
v1
v2
v3
w′ = bT .
.
.
vn
Sustituyendo, obtenemos que
bT = aT A
Ejemplos
Supongamos que tenemos un vector
Representamos w en términos de la base de vectores u:
w = 3u1 - 2u2 + 1u3
por lo que,
a = [3 -2 1].
Representando w′ en términos de v, obtenemos:
w′ = b1v1 + b2v2 + b3v3
Ahora calculamos A, que representa la matriz de la representación de la base de vectores v, en términos de u:
v1 = u1 v2 = u1 + u2 v2 = u1 + u2 + u3
por lo que,
-1
1 1 1 1 -1 0
A = B-1 = 0 1 1 = 0 1 -1
0 0 1 0 0 1
Ahora averiguamos b:
1 -1 0
b = [3 -2 1] * 0 1 -1 = [3 -5 3]
0 0 1
Sabiendo b, podemos calcular w′:
w′ = 3v1 - 5v2 + 3v3
Producto Escalar
Dados dos vectores no perpendiculares, u y v, el producto escalar dará un escalar (número real). Si los vectores, u y v, contienen los siguientes elementos: u1, u2, u3, …, un, y v1, v2,v3, …, vn, respectivamente, entonces definimos el producto escalar de esta forma:
u • v = (u1, u2, u3, …, un) • (v1, v2, v3, …, vn)
= u1*v1 + u2*v2 + u3*v3 + … + un*vn
= s, donde s es un escalar.
Existe una relación con el módulo del producto escalar y los de los vectores con el coseno del ángulo formado con dichos vectores:
u • v = ‖u‖ * ‖v‖ * cos α,
donde α es el ángulo formado entre los vectores u y v.
Ejemplos
Si
u • v = ( -1, 2, 5, 3, 0 ) • ( -3, -2, 4, 0, -1 )
= (-1)*(-3) + 2*(-2) + 5*4 + 3*0 + 0*(-1)
= 3 - 4 + 20
= 19
Ahora podemos averiguar el ángulo entre estos vectores:
‖u‖ = √( (-1)2 + (2)2 + (5)2 + (3)2 + (0)2 )
= √( 39 ) ≅ 6,2450 unidades
‖v‖ = √( (-3)2 + (-2)2 + (4)2 + (0)2 + (-1)2 )
= √( 30 ) ≅ 5,4472 unidades
u • v 19
cos α = --------- = ----------------- ≅ 0,5555
‖u‖ * ‖v‖ 6,2450 * 5,4472
α = cos-1 0,5555 = 0,9819 radianes ≅ 56,26º
Producto Vectorial
Dados dos vectores no paralelos, u y v, en un espacio tridimensional, el producto vectorial dará un tercer vector, w, que es ortogonal a ambos. Debemos tener:
w • u = w • v = 0.
Si los vectores, u y v, contienen los siguientes elementos: u1, u2, u3, y v1, v2, v3, respectivamente, entonces definimos w como el determinante con estos elementos:
| i j k |
w = u × v = | u1 u2 u3 | = i(u2*v3 - u3*v2) - j(u1*v3 - u3*v1) + k(u1*v2 - u2*v1)
| v1 v2 v3 |
Aquí i, j, y k representan los vectores unitarios: (1, 0, 0), (0, 1, 0), y (0, 0, 1), respectivamente. Observamos que i es el vector con la misma dirección que el eje X, con el sentido positivo, y tiene como longitud 1, de ahí el nombre "unitario". Lo mismo ocurre con los vectores j y k, y los ejes Y y Z, respectivamente.
Podemos reescribir el resultado del determinante, que es el vector w:
u2*v3 - u3*v2
w = u3*v1 - u1*v3
u1*v2 - u2*v1
El orden de los operandos para el producto vectorial influye en el vector resultante. Sin embargo, la única diferencia entre los dos posibles vectores, es un cambio de sentido; es decir:
u × v = - ( v × u )
Existe otra propiedad con el módulo del producto vectorial:
‖u × v‖ = ‖u‖ * ‖v‖ * sen α,
donde α es el ángulo formado entre los vectores u y v.
Ejemplos
u = ( -3, 5, 1 ), y v = ( 4, -2, -1 )
| i j k |
w = u × v = | -3 5 1 |
| 4 -2 -1 |
= i(5*(-1) - (1*(-2))) - j((-3)*(-1) - 1*4) + k((-3)*(-2) - 5*4)
= -3i + j + (-14)k
| i j k |
w′ = v × u = | 4 -2 -1 |
| -3 5 1 |
= i(1*(-2) - (5*(-1))) - j(1*4 - (-3)*(-1)) + k(5*4 - (-3)*(-2))
= 3i - j + 14k
Como podemos observar w = -w′, por lo que ‖w‖ = ‖w′‖ :
‖w‖ = √( (-3)2 + (1)2 + (-14)2 ) = √( 206 ) ≅ 14,3527 unidades
Ahora podemos averiguar el ángulo que forman estos dos vectores:
‖u‖ = √( (-3)2 + (5)2 + (1)2 ) = √( 35 ) ≅ 5,9161 unidades
‖v‖ = √( (4)2 + (-1)2 + (-1)2 ) = √( 18 ) ≅ 4,2426 unidades
‖u × v‖ 14,3527
sen α = --------- = ----------------- ≅ 0,5718
‖u‖ * ‖v‖ 5,9161 * 4,2426
α = sen-1 0,5718 = 0,6087 radianes ≅ 34,88º