Capítulo 8 Árboles AVL

8.1 Árboles equilibrados

Ya vimos al final del capítulo anterior que el comportamiento de los ABB no es siempre tan bueno como nos gustaría. Pues bien, para minimizar el problema de los ABB desequilibrados, sea cual sea el grado de desequilibrio que tengan, se puede recurrir a algoritmos de equilibrado de árboles globales. En cuanto a estos algoritmos, existen varios, por ejemplo, crear una lista mediante la lectura en inorden del árbol, y volver a reconstruirlo equilibrado. Conociendo el número de elementos no es demasiado complicado.

El problema de estos algoritmos es que requieren explorar y reconstruir todo el árbol cada vez que se inserta o se elimina un elemento, de modo que lo que ganamos al acortar las búsquedas, teniendo que hacer menos comparaciones, lo perdemos equilibrando el árbol.

Para resolver este inconveniente podemos recurrir a los árboles AVL.

8.2 Definición

Un árbol AVL (llamado así por las iniciales de sus inventores: Adelson-Velskii y Landis) es un árbol binario de búsqueda en el que para cada nodo, las alturas de sus subárboles izquierdo y derecho no difieren en más de 1.

No se trata de árboles perfectamente equilibrados, pero sí son lo suficientemente equilibrados como para que su comportamiento sea lo bastante bueno como para usarlos donde los ABB no garantizan tiempos de búsqueda óptimos.

El algoritmo para mantener un árbol AVL equilibrado se basa en reequilibrados locales, de modo que no es necesario explorar todo el árbol después de cada inserción o borrado.

8.3 Operaciones en AVL

Los AVL son también ABB, de modo que mantienen todas las operaciones que poseen éstos. Las nuevas operaciones son las de equilibrar el árbol, pero eso se hace como parte de las operaciones de insertado y borrado.

8.4 Factor de equilibrio

Cada nodo, además de la información que se pretende almacenar, debe tener los dos punteros a los árboles derecho e izquierdo, igual que los ABB, y además un miembro nuevo: el factor de equilibrio.

El factor de equilibrio es la diferencia entre las alturas del árbol derecho y el izquierdo:

FE = altura subárbol derecho - altura subárbol izquierdo;

Por definición, para un árbol AVL, este valor debe ser -1, 0 ó 1.

8.5 Rotaciones simples de nodos

Los reequilibrados se realizan mediante rotaciones, en el siguiente punto veremos cada caso, ahora vamos a ver las cuatro posibles rotaciones que podemos aplicar.

Rotación simple a la derecha (SD)

Esta rotación se usará cuando el subárbol izquierdo de un nodo sea 2 unidades más alto que el derecho, es decir, cuando su FE sea de -2. Y además, la raíz del subárbol izquierdo tenga una FE de -1 ó 0, es decir, que esté cargado a la izquierda o equilibrado.

Árbol desequilibrado a la izquierda

Árbol desequilibrado a la izquierda

Procederemos del siguiente modo:

Llamaremos P al nodo que muestra el desequilibrio, el que tiene una FE de -2. Y llamaremos Q al nodo raíz del subárbol izquierdo de P. Además, llamaremos A al subárbol izquierdo de Q, B al subárbol derecho de Q y C al subárbol derecho de P.

En el gráfico que puede observar que tanto B como C tienen la misma altura (n), y A es una unidad mayor (n+1). Esto hace que el FE de Q sea -1, la altura del subárbol que tiene Q como raíz es (n+2) y por lo tanto el FE de P es -2.

  1. Pasamos el subárbol derecho del nodo Q como subárbol izquierdo de P. Esto mantiene el árbol como ABB, ya que todos los valores a la derecha de Q siguen estando a la izquierda de P.
  2. El árbol P pasa a ser el subárbol derecho del nodo Q.
  3. Ahora, el nodo Q pasa a tomar la posición del nodo P, es decir, hacemos que la entrada al árbol sea el nodo Q, en lugar del nodo P. Previamente, P puede que fuese un árbol completo o un subárbol de otro nodo de menor altura.
RSD paso 1

RSD paso 1

RSD paso 2

RSD paso 2

RSD paso 3

RSD paso 3

En el árbol resultante se puede ver que tanto P como Q quedan equilibrados en cuanto altura.

En el caso de P porque sus dos subárboles tienen la misma altura (n), en el caso de Q, porque su subárbol izquierdo A tiene una altura (n+1) y su subárbol derecho también, ya que a P se añade la altura de cualquiera de sus subárboles.

Resultado

Resultado

En el caso de que el subárbol izquierdo esté equilibrado, el procedimiento es similar, pero los FE de los nodos P y Q en el árbol resultante son diferentes.

Árbol desequilibrado a la izquierda (b)

Árbol desequilibrado a la izquierda caso (b)

En principio, parece poco probable que nos encontremos un árbol con esta estructura, pero es posible encontrarlos cuando se borran nodos.

Aplicamos el mismo algoritmo para la rotación:

RSD paso 1

RSD paso 1

RSD paso 2

RSD paso 1

RSD paso 3

RSD paso 1

En el árbol resultante se puede ver que tanto P como Q quedan equilibrados en cuanto altura. En el caso de P porque su subárbol izquierdo es una unidad más alto que el derecho, quedando su FE en -1. En el caso de Q, porque su subárbol derecho una altura (n+1) y su subárbol izquierdo, una altura de n.

Árbol equilibrado

Árbol resultante equilibrado

De modo que, aunque aplicamos el mismo algoritmo, ya que en ambos casos se trata de una rotación simple, deberemos tener en cuenta estos detalles a la hora de ajustar los nuevos valores de FE en nuestro programa.

Rotación simple a la izquierda (SI)

Se trata del caso simétrico del anterior. Esta rotación se usará cuando el subárbol derecho de un nodo sea 2 unidades más alto que el izquierdo, es decir, cuando su FE sea de 2. Y además, la raíz del subárbol derecho tenga una FE de 1 ó 0, es decir, que esté cargado a la derecha o esté equilibrado.

Árbol desequilibrado a la derecha

Árbol desequilibrado a la derecha

Procederemos del siguiente modo:

Llamaremos P al nodo que muestra el desequilibrio, el que tiene una FE de 2. Y llamaremos Q al nodo raíz del subárbol derecho de P. Además, llamaremos A al subárbol izquierdo de P, B al subárbol izquierdo de Q y C al subárbol derecho de Q.

En el gráfico que puede observar que tanto A como B tienen la misma altura (n), y C es una unidad mayor (n+1). Esto hace que el FE de Q sea 1, la altura del subárbol que tiene Q como raíz es (n+2) y por lo tanto el FE de P es 2.

  1. Pasamos el subárbol izquierdo del nodo Q como subárbol derecho de P. Esto mantiene el árbol como ABB, ya que todos los valores a la izquierda de Q siguen estando a la derecha de P.
  2. El árbol P pasa a ser el subárbol izquierdo del nodo Q.
  3. Ahora, el nodo Q pasa a tomar la posición del nodo P, es decir, hacemos que la entrada al árbol sea el nodo Q, en lugar del nodo P. Previamente, P puede que fuese un árbol completo o un subárbol de otro nodo de menor altura.
RSI paso 1

RSD paso 1

RSI paso 2

RSD paso 2

RSI paso 3

RSD paso 3

En el árbol resultante se puede ver que tanto P como Q quedan equilibrados en cuanto altura. En el caso de P porque sus dos subárboles tienen la misma altura (n), en el caso de Q, porque su subárbol izquierdo A tiene una altura (n+1) y su subárbol derecho también, ya que a P se añade la altura de cualquiera de sus subárboles.

Árbol equilibrado

Árbol resultante equilibrado

8.6 Rotaciones dobles de nodos

Rotación doble a la derecha (DD)

Árbol desequilibrado a la izquierda

Árbol desequilibrado a la izquierda

Esta rotación se usará cuando el subárbol izquierdo de un nodo sea 2 unidades más alto que el derecho, es decir, cuando su FE sea de -2. Y además, la raíz del subárbol izquierdo tenga una FE de 1, es decir, que esté cargado a la derecha.

Este es uno de los posibles árboles que pueden presentar esta estructura, pero hay otras dos posibilidades. El nodo R puede tener una FE de -1, 0 ó 1. En cada uno de esos casos los árboles izquierdo y derecho de R (B y C) pueden tener alturas de n y n-1, n y n, o n-1 y n, respectivamente.

El modo de realizar la rotación es independiente de la estructura del árbol R, cualquiera de las tres produce resultados equivalentes. Haremos el análisis para el caso en que FE sea -1.

En este caso tendremos que realizar dos rotaciones.

Llamaremos P al nodo que muestra el desequilibrio, el que tiene una FE de -2. Llamaremos Q al nodo raíz del subárbol izquierdo de P, y R al nodo raíz del subárbol derecho de Q.

  1. Haremos una rotación simple de Q a la izquierda.
  2. Después, haremos una rotación simple de P a la derecha.

Con más detalle, procederemos del siguiente modo:

  1. Pasamos el subárbol izquierdo del nodo R como subárbol derecho de Q. Esto mantiene el árbol como ABB, ya que todos los valores a la izquierda de R siguen estando a la derecha de Q.
  2. Ahora, el nodo R pasa a tomar la posición del nodo Q, es decir, hacemos que la raíz del subárbol izquierdo de P sea el nodo R en lugar de Q.
  3. El árbol Q pasa a ser el subárbol izquierdo del nodo R.
RDD pasos 1 a 3

RDD pasos 1 a 3

RDD pasos 1 a 3

Resultado de primera rotación

  1. Pasamos el subárbol derecho del nodo R como subárbol izquierdo de P. Esto mantiene el árbol como ABB, ya que todos los valores a la derecha de R siguen estando a la izquierda de P.
  2. Ahora, el nodo R pasa a tomar la posición del nodo P, es decir, hacemos que la entrada al árbol sea el nodo R, en lugar del nodo P. Como en los casos anteriores, previamente, P puede que fuese un árbol completo o un subárbol de otro nodo de menor altura.
  3. El árbol P pasa a ser el subárbol derecho del nodo R.
RDD pasos 4 a 6

RDD pasos 4 a 6

RDD pasos 4 a 6

Resultado de segunda rotación

Rotación doble a la izquierda (DI)

Árbol desequilibrado a la derecha

Árbol desequilibrado a la derecha

Esta rotación se usará cuando el subárbol derecho de un nodo sea 2 unidades más alto que el izquierdo, es decir, cuando su FE sea de 2. Y además, la raíz del subárbol derecho tenga una FE de -1, es decir, que esté cargado a la izquierda. Se trata del caso simétrico del anterior.

En este caso también tendremos que realizar dos rotaciones.

Llamaremos P al nodo que muestra el desequilibrio, el que tiene una FE de 2. Llamaremos Q al nodo raíz del subárbol derecho de P, y R al nodo raíz del subárbol izquierdo de Q.

  1. Haremos una rotación simple de Q a la derecha.
  2. Después, haremos una rotación simple de P a la izquierda.

Con más detalle, procederemos del siguiente modo:

  1. Pasamos el subárbol derecho del nodo R como subárbol izquierdo de Q. Esto mantiene el árbol como ABB, ya que todos los valores a la derecha de R siguen estando a la izquierda de Q.
  2. Ahora, el nodo R pasa a tomar la posición del nodo Q, es decir, hacemos que la raíz del subárbol derecho de P sea el nodo R en lugar de Q.
  3. El árbol Q pasa a ser el subárbol derecho del nodo R.
RDI pasos 1 a 3

RDD pasos 4 a 6

RDI pasos 1 a 3

Resultado de primera rotación

  1. Pasamos el subárbol izquierdo del nodo R como subárbol derecho de P. Esto mantiene el árbol como ABB, ya que todos los valores a la izquierda de R siguen estando a la derecha de P.
  2. Ahora, el nodo R pasa a tomar la posición del nodo P, es decir, hacemos que la entrada al árbol sea el nodo R, en lugar del nodo P. Como en los casos anteriores, previamente, P puede que fuese un árbol completo o un subárbol de otro nodo de menor altura.
  3. El árbol P pasa a ser el subárbol izquierdo del nodo R.
RDI pasos 4 a 6

RDD pasos 4 a 6

RDI pasos 4 a 6

Resultado de segunda rotación

8.7 Reequilibrados en árboles AVL

Cada vez que insertemos o eliminemos un nodo en un árbol AVL pueden suceder dos cosas: que el árbol se mantenga como AVL o que pierda esta propiedad. En el segundo caso siempre estaremos en uno de los explicados anteriormente, y recuperaremos el estado AVL aplicando la rotación adecuada.

Ya comentamos que necesitamos añadir un nuevo miembro a cada nodo del árbol para averiguar si el árbol sigue siendo AVL, el Factor de Equilibrio. Cada vez que insertemos o eliminemos un nodo deberemos recorrer el camino desde ese nodo hacia el nodo raíz actualizando los valores de FE de cada nodo. Cuando uno de esos valores sea 2 ó -2 aplicaremos la rotación correspondiente.

Debido a que debemos ser capaces de recorrer el árbol en dirección a la raíz, añadiremos un nuevo puntero a cada nodo que apunte al nodo padre. Esto complicará algo las operaciones de inserción, borrado y rotación, pero facilita y agiliza mucho el cálculo del FE, y veremos que las complicaciones se compensan en gran parte por las facilidades obtenidas al disponer de este puntero.

Nota:

En rigor, no es necesario ese puntero, podemos almacenar el camino que recorremos para localizar un nodo concreto usando una pila, y después podemos usar la pila para recuperar el camino en orden inverso. Pero esto nos obliga a introducir otra estructura dinámica, y según mi opinión, complica en exceso el algoritmo.

Cuando estemos actualizando los valores de FE no necesitamos calcular las alturas de las dos ramas de cada nodo, sabiendo en valor anterior de FE, y sabiendo en qué rama hemos añadido o eliminado el nodo, es fácil calcular el nuevo valor de FE. Si el nodo ha sido añadido en la rama derecha o eliminado en la izquierda, y ha habido un cambio de altura en la rama, se incrementa el valor de FE; si el nodo ha sido añadido en la rama izquierda o eliminado en la derecha, y ha habido un cambio de altura en la rama, se decrementa el valor de FE.

Los cambios de altura en una rama se producen sólo cuando el FE del nodo raíz de esa rama ha cambiado de 0 a 1 ó de 0 a -1. En caso contrario, cuando el FE cambia de 1 a 0 ó de -1 a 0, no se produce cambio de altura.

Si no hay cambio de altura, los valores de FE del resto de los nodos hasta el raíz no pueden cambiar, recordemos que el factor de equilibrio se define como la diferencia de altura entre las ramas derecha e izquierda de un nodo, la altura de la rama que no pertenece al camino no puede cambiar, puesto que sigue teniendo los mismos nodos que antes, de modo que si la altura de la rama que pertenece al camino no cambia, tampoco puede cambiar el valor de FE.

Por ejemplo, supongamos que en siguiente árbol AVL insertamos el nodo de valor 8:

Inserción en AVL (1)

Inserción en AVL (1)

Inserción en AVL (2)

Inserción en AVL (2)

Para empezar, cualquier nodo nuevo será un nodo hoja, de modo que su FE será siempre 0.

Ahora actualizamos el valor de FE del nodo padre del que acabamos de insertar (P). El valor previo es 0, y hemos añadido un nodo en su rama izquierda, por lo tanto, el nuevo valor es -1. Esto implica un cambio de altura, por lo tanto, continuamos camino hacia la raíz.

A continuación tomamos el nodo padre de P (Q), cuyo valor previo de FE era 1, y al que también hemos añadido un nodo en su rama izquierda, por lo tanto decrementamos ese valor, y el nuevo será 0. En este caso no ha incremento de altura, la altura del árbol cuya raíz es Q sigue siendo la misma, por lo tanto, ninguno de los valores de FE de los nodos hasta el raíz puede haber cambiado. Es decir, no necesitamos seguir recorriendo el camino.

Si verificamos el valor de FE del nodo R vemos que efectivamente se mantiene, puesto que tanto la altura del subárbol derecho como del izquierdo, siguen siendo las mismas.

Pero algunas veces, el valor de FE del nodo es -2 ó 2, son los casos en los que perdemos la propiedad AVL del árbol, y por lo tanto tendremos que recuperarla.

Reequilibrados en árboles AVL por inserción de un nodo

En ese caso, cuando el valor de FE de un nodo tome el valor -2 ó 2, no seguiremos el camino, sino que, con el valor de FE de el nodo actual y el del nodo derecho si FE es 2 o el del nodo izquierdo si es -2, determinaremos qué tipo de rotación debemos hacer.

FE nodo actual FE del nodo derecho FE del nodo izquierdo Rotación
-2 No importa -1 RSD
-2 No importa 1 RDD
2 -1 No importa RDI
2 1 No importa RSI

El resto de los casos no nos interesan. Esto es porque en nodos desequilibrados hacia la derecha, con valores de FE positivos, siempre buscaremos el equilibrio mediante rotaciones a la izquierda, y viceversa, con nodos desequilibrados hacia la izquierda, con valores de FE negativos, buscaremos el equilibrio mediante rotaciones a la derecha.

Supongamos que el valor de FE del nodo ha pasado de -1 a -2, debido a que se ha añadido un nodo. Esto implica que el nodo añadido lo ha sido en la rama izquierda, si lo hubiéramos añadido en la derecha el valor de FE nunca podría decrecer.

Reequilibrados en árboles AVL por borrado de un nodo

Borrado en AVL (1)

Borrado en AVL (1)

Borrado en AVL (2)

Borrado en AVL (2)

Cuando el desequilibrio se debe a la eliminación de un nodo la cosa puede ser algo diferente, pero veremos que siempre se puede llegar a uno de los casos anteriores.

Supongamos el siguiente ejemplo, en el árbol AVL eliminaremos el nodo de valor 3:

El valor de FE del nodo P pasa de 1 a 2, sabemos que cuando el valor de FE de un nodo es 2 siempre tenemos que aplicar una rotación a izquierdas. Para saber cual de las dos rotaciones debemos aplicar miramos el valor de FE del nodo derecho. Pero en este caso, el valor de FE de ese nodo es 0. Esto no quiere decir que no podamos aplicar ninguna de las rotaciones, por el contrario, podremos aplicar cualquiera de ellas. Aunque por economía, lo razonable es aplicar la rotación simple.

Rotación simple

Aplicando la rotación simple

Rotación doble

Aplicando la rotación doble

Del mismo modo, el valor de FE del nodo derecho podría haber sido 1 ó -1, en ese caso sí está determinado el tipo de rotación a realizar.

El razonamiento es similar cuando se eliminan nodos y el resultado es que se obtiene un nodo con FE de -2, en este caso se realizará una rotación a derechas, y la rotación dependerá del valor de FE del nodo izquierdo al que muestra el desequilibrio. Si es 0 ó -1 haremos una rotación simple, si es 1, haremos una rotación doble.

Tendremos entonces una tabla más general para decidir la rotación a aplicar:

FE nodo actual FE del nodo derecho FE del nodo izquierdo Rotación
-2 No importa -1 RSD
-2 No importa 0 RSD
-2 No importa 1 RDD
2 -1 No importa RDI
2 0 No importa RSI
2 1 No importa RSI

Los árboles AVL siempre quedan equilibrados después de una rotación

Esto puede comprobarse analizando los métodos de rotación que hemos estudiado, después de efectuada la rotación, la altura del árbol cuya raíz es el nodo rotado se mantiene, por lo tanto, no necesitamos continuar el camino hacia la raíz: sabemos que el árbol es AVL.

8.8 Algoritmos

De inserción de nodo

En general, la inserción de nodos en un árbol AVL es igual que en un árbol ABB, la diferencia es que en un árbol AVL, después de insertar el nodo debemos recorrer el árbol en sentido hacia la raíz, recalculando los valores de FE, hasta que se cumpla una de estas condiciones: que lleguemos a la raíz, que se encuentre un nodo con valor de FE de 2, ó -2, o que se llegue a un nodo cuyo FE no cambie o decrezca en valor absoluto, es decir, que cambie de 1 a 0 ó de -1 a 0.

Podemos considerar que el algoritmo de inserción de nodos en árboles AVL es una ampliación del que vimos para árboles ABB.

De borrado de nodo

Lo mismo pasa cuando se eliminan nodos, el algoritmo es el mismo que en árboles ABB, pero después de eliminar el nodo debemos recorrer el camino hacia la raíz recalculando los valores de FE, y equilibrando el árbol si es necesario.

De recalcular FE

Ya comentamos más atrás que para seguir el camino desde el nodo insertado o borrado hasta el nodo raíz tenemos dos alternativas:

  1. Guardar en una pila los punteros a los nodos por los que hemos pasado para llegar al nodo insertado o borrado, es decir, almacenar el camino.
  2. Añadir un nuevo puntero a cada nodo que apunte al padre del nodo actual. Esto nos permite recorrer el árbol en el sentido contrario al normal, es decir, en dirección a la raíz.

Para calcular los nuevos valores de FE de los nodos del camino hay que tener en cuenta los siguientes hechos:

  • El valor de FE de un nodo insertado es cero, ya que siempre insertaremos nodos hoja.
  • Si el nuevo valor de FE para cualquiera de los siguientes nodos del camino es cero, habremos terminado de actualizar los valores de FE, ya que la rama mantiene su altura, la inserción o borrado del nodo no puede influir en los valores de FE de los siguientes nodos del camino.
  • Cuando se elimine un nodo pueden pasar dos cosas. Siempre eliminamos un nodo hoja, ya que cuando no lo es, lo intercambiamos con un nodo hoja antes de eliminarlo. Pero algunas veces, el nodo padre del nodo eliminado se convertirá a su vez en nodo hoja, y en ese caso no siempre hay que dar por terminada la actualización del FE del camino. Por lo tanto, cuando eliminemos un nodo, actualizaremos el valor de FE del nodo padre y continuaremos el camino, independientemente del valor de FE calculado.
  • A la hora de actualizar el valor de FE de un nodo, tenemos que distinguir cuando el equilibrado sea consecuencia de una inserción o lo sea de una eliminación. Incrementaremos el valor de FE del nodo si la inserción fue en la rama derecha o si la eliminación fue en la rama izquierda, decrementaremos si la inserción fue en la izquierda o la eliminación en la derecha.
  • Si en valor de FE es -2, haremos una rotación doble a la derecha su el valor de FE del nodo izquierdo es 1, y simple si es 1 ó 0.
  • Si en valor de FE es 2, haremos una rotación doble a la izquierda su el valor de FE del nodo izquierdo es -1, y simple si es -1 ó 0.
  • En cualquiera de los dos casos, podremos dar por terminado el recorrido del camino, ya que la altura del árbol cuya raíz es un nodo rotado no cambia.
  • En cualquier otro caso, seguiremos actualizando hasta llegar al nodo raíz.

De rotación simple

A la hora de implementar los algoritmos que hemos visto para rotaciones simples tenemos dos opciones: seguir literalmente los pasos de los gráficos, o tomar un atajo, y hacerlo mediante asignaciones. Nosotros lo haremos del segundo modo, ya que resulta mucho más rápido y sencillo.

Árbol desequilibrado a la izquierda

Árbol desequilibrado a la izquierda

Árbol equilibrado

Primero haremos las reasignaciones de punteros, de modo que el árbol resultante responda a la estructura después de la rotación. Después actualizaremos los punteros al nodo padre para los nodos que han cambiado de posición. Por último actualizaremos los valores de FE de esos mismos nodos.

Para la primera fase usaremos punteros auxiliares a nodo, que en el caso de rotación a la derecha necesitamos un puntero P al nodo con FE igual a -2. Ese será el parámetro de entrada, otro puntero al nodo izquierdo de P: Q. Y tres punteros más a los árboles A, B y C.

En realidad, si nos fijamos en los gráficos, los punteros a A y C no son necesarios, ya que ambos conservan sus posiciones, A sigue siendo el subárbol izquierdo de Q y C el subárbol derecho de P.

Usaremos otro puntero más: Padre, que apunte al padre de P. Disponiendo de los punteros Padre, P, Q y B, realizar la rotación es muy sencillo:

   if(Padre)
     if(Padre->derecho == P) Padre->derecho = Q;
     else Padre->izquierdo = Q;
   else raíz = Q;

   // Reconstruir árbol:
   P->izquierdo = B;
   Q->derecho = P;

Hay que tener en cuenta que P puede ser la raíz de un subárbol derecho o izquierdo de otro nodo, o incluso la raíz del árbol completo. Por eso comprobamos si P tiene padre, y si lo tiene, cual de sus ramas apunta a P, cuando lo sabemos, hacemos que esa rama apunte a Q. Si Padre es NULL, entonces P era la raíz del árbol, así que hacemos que la nueva raíz sea Q.

Sólo nos queda trasladar el subárbol B a la rama izquierda de P, y Q a la rama derecha de P.

La segunda fase consiste en actualizar los punteros padre de los nodos que hemos cambiado de posición: P, B y Q.

   P->padre = Q;
   if(B) B->padre = P;
   Q->padre = Padre;

El padre de P es ahora Q, el de Q es Padre, y el de B, si existe es P.

La tercera fase consiste en ajustar los valores de FE de los nodos para los que puede haber cambiado.

Esto es muy sencillo, después de una rotación simple, los únicos valores de FE que cambian son los de P y Q, y ambos valen 0.

// Rotación simple a derechas
void RSD(Nodo* nodo) {
   Nodo *Padre = nodo->padre;
   Nodo *P = nodo;
   Nodo *Q = P->izquierdo;
   Nodo *B = Q->derecho;

   if(Padre)
     if(Padre->derecho == P) Padre->derecho = Q;
     else Padre->izquierdo = Q;
   else raíz = Q;

   // Reconstruir árbol:
   P->izquierdo = B;
   Q->derecho = P;

   // Reasignar padres:
   P->padre = Q;
   if(B) B->padre = P;
   Q->padre = Padre;

   // Ajustar valores de FE:
   P->FE = 0;
   Q->FE = 0;
}

La rotación a izquierdas es simétrica.

De rotación doble

Para implementar las rotaciones dobles trabajaremos de forma análoga.

Árbol desequilibrado

Árbol desequilibrado

Árbol equilibrado

Árbol equilibrado

Primero haremos las reasignaciones de punteros, de modo que el árbol resultante responda a la estructura después de la rotación. Después actualizaremos los punteros al nodo padre para los nodos que han cambiado de posición. Por último actualizaremos los valores de FE de esos mismos nodos.

Para la primera fase usaremos punteros auxiliares a nodo, que en el caso de rotación a la derecha necesitamos un puntero P al nodo con FE igual a -2. Ese será el parámetro de entrada, otro puntero al nodo izquierdo de P: Q. Un tercero al nodo derecho de Q: R. Y cuatro punteros más a los árboles A, B, C y D.

En realidad, si nos fijamos en los gráficos, los punteros a A y D no son necesarios, ya que ambos conservan sus posiciones, A sigue siendo el subárbol izquierdo de Q y D el subárbol derecho de P.

También en este caso usaremos otro puntero más: Padre, que apunte al padre de P. Disponiendo de los punteros Padre, P, Q, R, B y C, realizar la rotación es muy sencillo:

   if(Padre)
     if(Padre->derecho == nodo) Padre->derecho = R;
     else Padre->izquierdo = R;
   else raíz = R;

   // Reconstruir árbol:
   Q->derecho = B;
   P->izquierdo = C;
   R->izquierdo = Q;
   R->derecho = P;

Ahora también hay que tener en cuenta que P puede ser la raíz de un subárbol derecho o izquierdo de otro nodo, o incluso la raíz del árbol completo. Por eso comprobamos si P tiene padre, y si lo tiene, cual de sus ramas apunta a P, cuando lo sabemos, hacemos que esa rama apunte a R. Si Padre es NULL, entonces P era la raíz del árbol, así que hacemos que la nueva raíz sea R.

Sólo nos queda trasladar el subárbol B a la rama derecha de Q, C a la rama izquierda de P, Q a la rama izquierda de R y P a la rama derecha de R.

La segunda fase consiste en actualizar los punteros padre de los nodos que hemos cambiado de posición: P, Q, R, B y C.

   R->padre = Padre;
   P->padre = Q->padre = R;
   if(B) B->padre = Q;
   if(C) C->padre = P;

El padre de R es ahora Padre, el de P y Q es R, y el de B, si existe es Q, y el de C, si existe, es P.

La tercera fase consiste en ajustar los valores de FE de los nodos para los que puede haber cambiado.

En las rotaciones dobles esto se complica un poco ya que puede suceder que el valor de FE de R antes de la rotación sea -1, 0 o 1. En cada caso, los valores de FE de P y Q después de la rotación serán diferentes.

   // Ajustar valores de FE:
   switch(R->FE) {
      case -1: Q->FE = 0; P->FE = 1; break;
      case 0:  Q->FE = 0; P->FE = 0; break;
      case 1:  Q->FE = -1; P->FE = 0; break;
   }
   R->FE = 0;

Si la altura de B es n-1 y la de C es n, el valor de FE de R es 1. Después de la rotación, la rama B pasa a ser el subárbol derecho de Q, por lo tanto, la FE de Q, dado que la altura de su rama izquierda es n, será 0. La rama C pasa a ser el subárbol izquierdo de P, y dado que la altura de la rama derecha es n, la FE de P será -1.

Si la altura de B es n y la de C es n-1, el valor de FE de R es -1. Después de la rotación, la rama B pasa a ser el subárbol derecho de Q, por lo tanto, la FE de Q, dado que la altura de su rama izquierda es n, será 0. La rama C pasa a ser el subárbol izquierdo de P, y dado que la altura de la rama derecha es n, la FE de P será 0.

Por último, si la altura de B y C es n, el valor de FE de R es 0. Después de la rotación, la rama B pasa a ser el subárbol derecho de Q, por lo tanto, la FE de Q, dado que la altura de su rama izquierda es n, será 0. La rama C pasa a ser el subárbol izquierdo de P, y dado que la altura de la rama derecha es n, la FE de P será 0.

// Rotación doble a derechas
void RDD(Nodo* nodo) {
   Nodo *Padre = nodo->padre;
   Nodo *P = nodo;
   Nodo *Q = P->izquierdo;
   Nodo *R = Q->derecho;
   Nodo *B = R->izquierdo;
   Nodo *C = R->derecho;

   if(Padre)
     if(Padre->derecho == nodo) Padre->derecho = R;
     else Padre->izquierdo = R;
   else raíz = R;

   // Reconstruir árbol:
   Q->derecho = B;
   P->izquierdo = C;
   R->izquierdo = Q;
   R->derecho = P;

   // Reasignar padres:
   R->padre = Padre;
   P->padre = Q->padre = R;
   if(B) B->padre = Q;
   if(C) C->padre = P;

   // Ajustar valores de FE:
   switch(R->FE) {
      case -1: Q->FE = 0; P->FE = 1; break;
      case 0:  Q->FE = 0; P->FE = 0; break;
      case 1:  Q->FE = -1; P->FE = 0; break;
   }
   R->FE = 0;
}

8.9 Ejemplo de árbol AVL en C

No ha demasiado que añadir, construiremos los ejemplos de árboles AVL basándonos en los ejemplos que hicimos para árboles binarios de búsqueda.

Sólo tenemos que añadir cinco nuevas funciones: una para equilibrar el árbol, y cuatro para las cuatro posibles rotaciones.

Además, modificaremos ligeramente las funciones de inserción y borrado para que se equilibre el árbol automáticamente después de cada inserción o borrado.

En la estructura de nodo para árbol AVL añadiremos un puntero al nodo padre y un valor entero para almacenar el factor de equilibrio.

Cuando se inserten nuevos nodos hay que ajustar los valores de los nuevos miembros de nodo: FE y padre. Seguidamente, llamaremos a la función "Equilibrar", salvo que el nodo insertado sea el raíz, ya que en ese caso no es necesario, evidentemente.

El procedimiento de equilibrar consiste en la implementación del algoritmo que vimos en el punto anterior:

/* Equilibrar árbol AVL partiendo de un nodo*/
void Equilibrar(Arbol *a, pNodo nodo, int rama, int nuevo) {
   int salir = FALSE;

   /* Recorrer camino inverso actualizando valores de FE: */
   while(nodo && !salir) {
      if(nuevo)
         if(rama == IZQUIERDO) nodo->FE--; /* Depende de si añadimos ... */
         else                  nodo->FE++;
      else
         if(rama == IZQUIERDO) nodo->FE++; /* ... o borramos */
         else                  nodo->FE--;
      if(nodo->FE == 0) salir = TRUE; /* La altura de las rama que
                                         empieza en nodo no ha variado,
                                         salir de Equilibrar */
      else if(nodo->FE == -2) { /* Rotar a derechas y salir: */
         if(nodo->izquierdo->FE == 1) RDD(a, nodo); /* Rotación doble  */
         else RSD(a, nodo);                         /* Rotación simple */
         salir = TRUE;
      }
      else if(nodo->FE == 2) {  /* Rotar a izquierdas y salir: */
         if(nodo->derecho->FE == -1) RDI(a, nodo); /* Rotación doble  */
         else RSI(a, nodo);                        /* Rotación simple */
         salir = TRUE;
      }
      if(nodo->padre)
         if(nodo->padre->derecho == nodo) rama = DERECHO; else rama = IZQUIERDO;
      nodo = nodo->padre; /* Calcular FE, siguiente nodo del camino. */
   }
}

Las funciones para rotar son también sencillas, por ejemplo, la rotación simple a la derecha:

/* Rotación simple a derechas */
void RSD(Arbol *a, pNodo nodo) {
   pNodo Padre = nodo->padre;
   pNodo P = nodo;
   pNodo Q = P->izquierdo;
   pNodo B = Q->derecho;

   if(Padre)
     if(Padre->derecho == P) Padre->derecho = Q;
     else Padre->izquierdo = Q;
   else *a = Q;

   /* Reconstruir árbol: */
   P->izquierdo = B;
   Q->derecho = P;

   /* Reasignar padres: */
   P->padre = Q;
   if(B) B->padre = P;
   Q->padre = Padre;

   /* Ajustar valores de FE: */
   P->FE = 0;
   Q->FE = 0;
}

Y la rotación doble a la derecha:

/* Rotación doble a derechas */
void RDD(Arbol *raíz, Arbol nodo) {
   pNodo Padre = nodo->padre;
   pNodo P = nodo;
   pNodo Q = P->izquierdo;
   pNodo R = Q->derecho;
   pNodo B = R->izquierdo;
   pNodo C = R->derecho;

   if(Padre)
     if(Padre->derecho == nodo) Padre->derecho = R;
     else Padre->izquierdo = R;
   else *raíz = R;

   /* Reconstruir árbol: */
   Q->derecho = B;
   P->izquierdo = C;
   R->izquierdo = Q;
   R->derecho = P;

   /* Reasignar padres: */
   R->padre = Padre;
   P->padre = Q->padre = R;
   if(B) B->padre = Q;
   if(C) C->padre = P;

   /* Ajustar valores de FE: */
   switch(R->FE) {
      case -1: Q->FE = 0; P->FE = 1; break;
      case 0:  Q->FE = 0; P->FE = 0; break;
      case 1:  Q->FE = -1; P->FE = 0; break;
   }
   R->FE = 0;
}

8.10 Ejemplo de árbol AVL en C++

Usando clases el ejemplo también está basado en el que hicimos para árboles binarios de búsqueda, añadiendo las cinco funciones anteriores: Equilibrar, RSD, RSI, RDD y RDI. Además de las modificaciones en Insertar y Borrar.

8.11 Ejemplo de árbol AVL en C++ con plantillas

Usando plantillas no hay más que generalizar el ejemplo de clases, cambiando en tipo de dato a almacenar por el parámetro de la plantilla.

Fichero con el código fuente

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Ejemplo de árbol AVL en C arbolavl_c.zip 2002-05-10 3713 bytes 22
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Ejemplo de árbol AVL en C++ arbolavl_cpp.zip 2002-05-10 3922 bytes 37
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Ejemplo de árbol AVL con plantillas arbolavl_templ.zip 2002-05-10 4481 bytes 17